Die gerade Linie ist gottlos und unmoralisch.

Friedensreich Hundertwasser

Was ist Geometrie?

Ein alternatives Konzept zum Zugang zur Geometrie

Jörg D. Becker

Im Zusammenhang mit der Entwicklung eines tastengesteuerten Zeichenprogramms für den Geometrieunterricht mit gestützter Kommunikation entstand das Bedürfnis, die traditionellen Konzepte des Geometrieunterrichts zu überdenken. Zentrales Ergebnis dieser Überlegungen ist der Vorschlag, Geometrie als ein zur Physik gehörendes Gebiet zu betrachten, also als eine Erfahrungswissenschaft zu sehen, die zunächst einen experimentellen Zugang erfordert. Verschiedene mathematische Zweige können dann als (äquivalente oder inäquivalente) Theorien gesehen werden, die auf die Erfahrung abgebildet werden können.

Die meisten Gebiete der Mathematik lassen sich "logisch" aufbauen. Wenn wir einmal "philosophische" Fragen außer acht lassen (wie etwa die Frage, ob sich die Mathematik auf die Logik aufbauen läßt), meinen wir mit dieser Formulierung, daß man eine gut strukturierte Darstellung mit einem roten Faden finden kann. Beschäftigen wir uns z. B. mit der Bruchrechnung, so spannt sich ein stetiger Bogen von der Teilbarkeit von Zahlen über Addition und Multiplikation von Brüchen bis hin zu den Dezimalbrüchen. Gleichzeitig wird der Zahlenbereich erweitert, von den natürlichen Zahlen über die rationalen und irrationalen bis zu den berechenbaren und nicht berechenbaren transzendenten Zahlen.

Einen derartigen roten Faden sucht man für die Geometrie vergeblich. (Diese Problematik ist übrigens bekannt und wird in einschlägigen Kreisen intensiv diskutiert; siehe z. B. D. Wilson.) Schlägt man verschiedene Schulbücher auf, so gewinnt man den Eindruck, daß hier keine Theorie entwickelt wird, sondern daß nur verschiedene Geschichten über die Geometrie erzählt werden, deren Zusammenhang bestenfalls erahnt werden kann. H.-J. Elschenbroich vertritt sogar die Meinung, daß Geometrie am besten durch das Erzählen von Geschichten vermittelt wird.

Man mag nun einwenden, daß doch in den euklidischen Axiomen ein logischer Rahmen zur Verfügung steht.

1. Zu zwei Punkten gibt es genau eine Gerade, auf der sie liegen.
2. Jede gerade Strecke zwischen zwei Punkten läßt sich eindeutig verlängern.
3. Zu einem Punkt und einer Strecke kann man genau einen Kreis konstruieren.
4. Alle rechten Winkel sind gleich.
5. Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es genau eine Gerade, die durch den Punkt geht und parallel zur ersten Geraden ist. (Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden, d. h. keinen Punkt gemeinsam haben.)

TAFEL 1: Die euklidischen Axiome

Das Problem liegt aber darin, daß Euklid hier z. B. von Geraden spricht, ohne zu sagen, was eine Gerade ist. Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, eine Gerade zu definieren.

  • Jeder weiß doch, was eine Gerade ist (intuitiver Zugang)
  • Eine Gerade ist das, was entsteht, wenn man mit dem Bleistift am Lineal entlangfährt (physikalisch-technische Definition)
  • Eine Gerade ist eine Linie, die nicht krumm ist (das setzt aber voraus, daß man Krümmung definieren kann)
  • Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten (das setzt aber voraus, daß man die Länge jeder beliebigen Linie messen oder berechnen kann)
  • Eine Gerade entsteht, wenn man auf dem Bildschirm eine zeichnet (aber da der Bildschirm gerastert ist, entsteht dabei fast immer so etwas wie eine Treppe).
  • Eine Gerade ist ein Graph der Form (x=at, y=bt) (algebraische Definition)
  • Eine Gerade ist irgendetwas, das die Euklidschen Axiome erfüllt (abstrakte Definition)

TAFEL 2: Was ist eine Gerade?

Die ausgezeichneten Beiträge zur Geometrie im Fischer-Lexikon der Mathematik erklären zumindest die Ursache des Problems: So etwas wie Geometrie kommt in der Mathematik nicht vor. Es gibt stattdessen verschiedene Theorien, die sich einer geometrischen Sprache bedienen. Einige dieser Theorien sind zueinander äquivalent, andere wiederum nicht.

Die logische Konsequenz ist, daß man die Geometrie als das auffassen muß, was sie seit alters her ist - nämlich eine empirische, physikalische Wissenschaft, worauf ja schon der Name hinweist: Vermessung der Erde. Dazu gibt es verschiedene mathematische Theorien, die sich in die physikalische Realität abbilden lassen und somit (hinreichende Übereinstimmung zwischen Theorie und Realität vorausgesetzt) Vorhersagen erlauben.

Außerdem gibt es Gebiete in der Mathematik, die sich zur Bildung einer "abstrakten Anschauung" einer geometrischen Sprache bedienen, aber mit der physikalischen Geometrie wenig oder nichts zu tun haben.

Diese Situation finden wir auch in anderen Zweigen der Physik, wie etwa in der Quantenphysik, die durch verschiedene (mathematisch äquivalente) Theorien beschrieben werden kann.

Physikalische
Geometrie

Analytische Geometrie
Vektorielle Geometrie
Projektive Geometrie
Euklidische Geometrie

Riemannsche Geometrie

TAFEL 3: Physikalische Geometrie, einige (fast) äquivalente Theorien und eine nicht äquivalente Theorie

Ein Problem vieler Schulbücher über Geometrie ist, daß sie die verschiedenen Theorien bunt mischen, ohne diesen Sachverhalt hinreichend zu klären. So entsteht der Eindruck, die Geometrie sei eine Sammlung unterschiedlicher Fakten, in die sich keine logische Ordnung bringen läßt. Dazu kommt die übliche Unsitte vieler Schul buchautoren, sich am Wettbewerb zu beteiligen, wer die meisten möglichst komplizierten Aufgaben erfinden kann, um die zentralen Konzepte zu verschleiern. Damit haben wir nun die Forderungen abgesteckt, die an einen effizienten und strukturierten Geometrieunterricht zu stellen sind.

  • Experimenteller Zugang zur Geometrie
  • Einbeziehung von Handwerk und Technik
  • Verwendung menschengroßer Objekte zum Be-greifen
  • Von rauhen, gekrümmten Flächen zu glatten, ebenen
  • Das ebene Dreieck als Dreh- und Angelpunkt
  • Beschränkung auf die wesentlichen Konzepte
  • Darstellung der Theorie an zwei ausgewählten Geometrien
  • Gespannter Bogen in der Darstellung

TAFEL 4: Forderungen an den strukturierten Aufbau des Geometrieunterrichts

Die erste Forderung, nämlich ein experimenteller Zugang zur Geometrie, wird auch in der Waldorf-Pädagogik verfolgt (S. Szeli). Beim Bau eines kuppelförmigen Pizza-Ofens lernt man vielleicht mehr über Geometrie als bei der Konstruktion des Apollonius-Kreises mit Zirkel und Lineal. Die Orientierung an handwerklichen Techniken sowie die Erfahrung der Ebene als Spezialfall gekrümmter Flächen stehen deshalb im Zentrum des experimentellen Zugangs zur Geometrie (Tafel 5).

Fläche als Grenze zwischen physikalischen Phasen z. B. fest-flüssig, fest-gasförmig
Flächenbeschaffenheit rauh, glatt, fraktal
"atomare Glätte": Rastertunnelmikroskopaufnahmen
Flächenbearbeitung glätten, schleifen, polieren, aufrauhen
Herstellung von Flächen (Halb-)Kugel, Sattel, Ebene (1.5 m Ausdehnung)
Technik: Gerüst (Holz, Draht) verkleidet mit Gipsbinden, Polyester o.ä.
Befestigungselemente für Schnüre
Geodäten Über Flächen gespannte Schnüre verschiedener Beschaffenheit
Schnittpunkt, Winkel definiert durch zwei sich schneidende Geodäten
Winkelmessung, Strecke, Streckenmessung Begriff der Messung
Entwicklung von Messgeräten
Begriff der Toleranz
Dreieck ...
Ebene ...
... ...

TAFEL 5: Experimenteller Zugang zur Geometrie

Für die theoretische Aufbereitung der Geometrie kann man verschiedene Wege wählen. Wir schlagen hier vor, den Zusammenhang zwischen den experimentell-empirischen Ergebnissen und zwei theoretischen Ansätzen als zentralen Aspekt zu bearbei ten. Als Dreh- und Angelpunkt sehen wir das ebene Dreieck: Aus der konstanten Summe der Innenwinkel und aus den konstanten Seitenverhältnissen ähnlicher Dreiecke läßt sich das vorgeschlagene Programm entwickeln (Tafel 6). Dabei ergibt sich der Zusammenhang zwischen analytischer Geometrie und Vektorgeometrie, der ja später für die Differentialrechnung von großer Bedeutung ist.

Das ebene Dreieck als Dreh- und Angelpunkt Summe der Innenwinkel immer 180
Übereinstimmung der Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken
Die zentralen Sätze der Geometrie Satz des Thales
Satz des Pythagoras
Umfang und Fläche von Vierecken, Dreieck, Kreis Berechnung der Zahl pi
Trigonometrie Einführung der Winkelfunktionen
Beweis elementarer Zusammenhänge
Analytische Geometrie und Vektorgeometrie Zusammenhang und Äquivalenz:
Pythagoras und Tangens
... ...

TAFEL 6: Theoretische Ansätze zur Aufbereitung der Geometrie

Anmerkung

Dieser Essay ist als erster Versuch zu betrachten, der selbstverständlich der Überarbeitung bedarf. So ist z. B. unklar, wie bei konkaven Flächen Geodäten physikalisch realisiert werden können, oder wie man am besten eine Ebene definiert; und es ist zu überlegen, wie unser Ansatz mit dem von Seymour Papert kombiniert werden kann. Kommentare sind jedenfalls erwünscht.

Referenzen:

H. Behnke, H. Tietz (Hrsg.), Das Fischer Lexikon Mathematik 2. Fischer 1966

H.-J. Elschenbroich (1999), Private Mitteilung
Siehe auch: http://home.t-online.de/home/elschenbroich

S. Szeli (1999), Private Mitteilung

S. Papert, Gedankenblitze.

Dave Wilson (1996), An Exploration into the Teaching and Learning of Geometry and the Possible Effects of Dynamic Geometry Software. http://s13a.math.aca.mmu.ac.uk/Daves_Articles/PI/contents.html


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© 2000, 2002 Jörg D. Becker, Starnberg


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